Arcocoseno

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En trigonometría el arcocoseno está definido como la función inversa del coseno de un angulo.Si tenemos: $arccos?$ , su significado geométrico es el arco cuyo coseno es alfa.

La función coseno no es biyectiva, por lo que no tiene inversa. Es posible, aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio del la función coseno al intervalo $left[0, piright]$ .

[editar] Notación

La notación matematica del arcocoseno es arccos; es común la escritura ambigua cos^-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ACOS y ACS.

[editar] Propiedades

El arcocoseno de una función continua es estrictamente decreciente, definida por todo el valor del intervalo $left[-1, 1right]$ :
$arccos: left[-1, 1right]rightarrowleft[0, piright]$ .
Su gráfico es simétrico respecto al punto $left(0,fracpi 2right)$ , siendo $arccos x=pi-arccosleft(-xright)$ .

La derivada del la función arcocoseno es
$frac{d}{dx}arccos x=-frac1sqrt{1-x^2}$ .

La serie de Taylor correspondiente es
$arccos x= fracpi 2-sum_{k=0}^infty{-frac12choose k}(-1)^kfrac{x^{2k+1}}{2k+1}= fracpi 2-x-frac16x^3-frac3{40}x^5-frac5{112}x^7-cdots$ .

Por medio del la guia descrita simétrica vale la relación por argumentos negativos:
$arccosleft(-xright)=pi-arccos x$ .

Es posible combinar la suma o diferencia de arcocoseno en una expresión donde el arcocoseno figura una rotación:
$arccos x_1+arccos x_2= begin{cases} arccosleft(x_1x_2-sqrt{1-x_1^2}sqrt{1-x_2^2}right)& x_1+x_2ge0\ 2pi-arccosleft(x_1x_2-sqrt{1-x_1^2}sqrt{1-x_2^2}right)& x_1+x_2<0 end{cases}$
$arccos x_1-arccos x_2= begin{cases} -arccosleft(x_1x_2+sqrt{1-x_1^2}sqrt{1-x_2^2}right)& x_1ge x_2\ arccosleft(x_1x_2+sqrt{1-x_1^2}sqrt{1-x_2^2}right)& x_1<x_2 end{cases}$ .

[editar] Aplicaciones

En un triangulo rectángulo la expresión en radianes de un angulo agudo equivale al arcocoseno, la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa.