Wiki de astronomía.

Todo el poder de la Wikipedia y toda la esencia de la astronomía

Espacio-tiempo de Minkowski

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En física matemática, el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es un una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial de la relatividad de Einstein.

En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una dimensión temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y así representar al espacio-tiempo.

[editar] Definición

El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad isomorfa a $mathcal{M}_0 = (R^4, boldsymbol eta)$ donde el tensor métrico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como:

$eta = -dx^0otimes dx^0 + dx^1otimes dx^1 + dx^2otimes dx^2 + dx^3otimes dx^3$

(1)

O en forma matricial explícita, respecto a la misma base:

$left( eta_{alphabeta} right) overset{underset{mathrm{def}}{}}{=} begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$

(2)

De todas maneras es común renombrar a las coordenadas en términos de las coordenadas espaciales y el tiempo usados en la mecánica newtoniana es decir: $(x^0,x^1,x^2,x^3) mapsto (ct,x,y,z)$ con lo cual el tensor métrico se escribe simplemente como:

$eta = -c^2dtotimes dt + dxotimes dx + dyotimes dy + dzotimes dz$

(3)

[editar] Propiedades

[editar] Contenido material

El tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo de Minkowski es idénticamente nulo, razón por la cual se dice que el espacio-tiempo es plano. Así el resto de tensores y escalares de curvatura resultan nulos, siendo también nulo el tensor de Einstein que es igual al contenido material. Por tanto, el espacio-tiempo de Minkowski representa un universo vacío.

Físicamente puede ser una buena representación local del espacio-tiempo real de regiones razonablemente pequeñas y muy alejadas del resto de materia.

[editar] Geodésicas

Cualquier línea recta constituye una geodésica, ya que el tensor de curvatura se anula. Tomando coordenadas cartesianas las geodésicas vienen dadas simplemente por:

$ddot{t} = 0 qquad ddot{x} = 0 qquad ddot{y} = 0 qquad ddot{z} = 0$

(5)

Que corresponden a líneas rectas:

$t(tau) = t_0 + frac{tau}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} quad x(tau) = x_0 + frac{v_xtau}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} quad y(tau) = y_0 + frac{v_ytau}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} quad z(tau) = z_0 + frac{v_ztau}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$

(6)

Donde:

$(v_x,v_y,v_z);$ son las componentes de la velocidad de una partícula.

?

, es el tiempo propio de la partícula que viaja según la geodésica.

[editar] Grupo de isometría

El grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski es precisamente el grupo de Poincaré, que tiene admite diversos subgrupos entre ellos:

El grupo de Lorentz
El grupo de rotaciones
El grupo de traslaciones que es isomorfo a $R^4$ , en particular cualquier campo vectorial constante es un vector de Killing, que genera un grupo uniparamétrico de isometrías.

[editar] Representación pseudoeuclídea

El espacio-tiempo de Minkowski admite un tratamiento pseudoeuclídeo, eso signifca que bajo la aplicación sobre los complejos dada por:

$X = (ct,x,y,z) mapsto tilde{X}=(ict,x,y,z)$

Y tratando las coordenadas resultantes como vectores de un espacio euclídeo de cuatro dimensiones se reproducen los resultados geométricos típicos del espacio-tiempo de Minkowski. Si en esa representación compleja se trata todo escalar se construye a partir del producto escalar euclídeo las magnitudes escalares de la teoría resultan invariantes. Además se cumple que:

$U^alpha V_alpha = tilde{U}cdottilde{V} qquad forall U,V in Tmathcal{M}_0$

(7)

Es más todos los cuadrivectores y cuadritensores antisimétricos de segundo orden admiten una representación compleja de ese tipo, con similares propiedades de invariancia a (4):

[editar] Véase también

Hermann Minkowski

El contenido de esta página es un esbozo sobre física. Ampliándolo ayudarás a mejorar Wikipedia.
Puedes ayudarte con las wikipedias en otras lenguas.