Espacio separable

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En Topología un espacio topológico es separable si incluye un subconjunto denso numerable.

Un espacio de Hilbert es separable si y solamente si admite una base ortonormal numerable.

Tabla de contenidos

1 Espacios de Hilbert separables
2 Ejemplos
- 2.1 Espacios separables
- 2.2 Espacios de Hilbert no-separables

[editar] Espacios de Hilbert separables

Sea (H,<,>) un espacio de Hilbert separable. Si {e_k}_{k ? B} es una base ortonormal numerable de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como

$x = sum_{k in B} langle e_k , x rangle e_k$

Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.

Ejemplos de espacios de Hilbert son $mathbb K^n,$ con $mathbb K=mathbb R$ ó $mathbb K=mathbb C,$ el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables $ell^2(mathbb K)$ y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue $L^2(mathbb R^n).$ Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios $mathbb K^n$ y $ell^2(mathbb K)$ los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita $n,$ es isomorfo a $mathbb K^n$ mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a $ell^2(mathbb K)$ .

[editar] Ejemplos

[editar] Espacios separables

El conjunto de los números reales R con la topología usual es separable por ser el conjunto de los números racionales Q un subconjunto denso. En general, el espacio euclídeo Rⁿ es separable por ser Qⁿ denso y numerable por ser el producto de conjuntos numerables.
Igualmente el conjunto de los números complejos C es separable siendo en general, el espacio euclídeo Cⁿ también separable.

Todo espacio topológico numerable es separable.
El conjunto de las funciones continuas en el intervalo [0,1] también es separable.

[editar] Espacios de Hilbert no-separables

El conjunto de todas las funciones reales $f:mathbb{R} longrightarrow mathbb{R}$ , que sólo son diferentes de cero en un conjunto finito o contable de puntos S_f tales que:

$sum_{xin S_f} |f(x)|^2 < infty$

Constituye un espacio de Hilbert no separable, dotado del producto escalar entre dos funciones f y g:

$langle f, grangle = sum_{S_f cap S_g} overline{f(x)}g(x)$

Necesariamente estas funciones de este espacio de Hibert no son continuas, ya que los espacios normados de funciones reales continuas definidas en $mathbb{R}^n$ son siempre separables.

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