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Función discontinua

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Una función es discontinua si no es continua en un punto evaluado.

Tabla de contenidos

1 Clasificación de la discontinuidad de una función
- 1.1 Evitable
- 1.2 Esencial
  - 1.2.1 De primera especie o de salto
  - 1.2.2 De segunda especie
2 Véase también

[editar] Clasificación de la discontinuidad de una función

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

[editar] Evitable

Cuando existe el $lim_{x to a} f(x) = l$ con $l in real$ pero no coincide con el valor de f(a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f(a).

Ejemplo 1:

Dada $f(x) = frac {x^2-4} {x-2}$ no existe

f (2)

pero si existe

$lim_{x to 2}f(x) = frac {x^2-4} {x-2} = 4$

Ejemplo 2: La función parte entera: g(x) = [sen(x)] en el intervalo

[0,?)

[editar] Esencial

Cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

Existen los límites laterales pero no coinciden.
Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.
No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar] De primera especie o de salto

1. Con salto finito: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

$lim_{x to a^+} f(x) ne lim_{x to a^-} f(x)$

Ejemplo $f(x) = frac {|x|} {x}$ en x = 0

2. Con salto infinito (asíntota): Cuando alguno de los límites laterales o ambos no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

$lim_{x to a} f(x) = infty$

Ejemplo $lim_{x to 0}f(x) = frac {1} {x}$

Punto de infinito:

$f(x) = frac {1} {x^2}$

[editar] De segunda especie

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

Ejemplo: $f(x) = sen left (frac {1}{x}right)$ en x = 0