Wiki de astronomía.

Todo el poder de la Wikipedia y toda la esencia de la astronomía

Volver a la página principal

Función gamma

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

Función Gamma

En matemática, la función gamma es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

$Gamma(z) = int_0^infty t^{z-1},e^{-t},dt$

converge absolutamente.

Tabla de contenidos

1 Propiedades
2 Aplicaciones de la función gamma
- 2.1 Cálculo fraccionario
3 Véase también
4 Enlaces externos

[editar] Propiedades

Mediante la integración por partes, se puede mostrar que

$Gamma(z+1)=zGamma(z),.$

Como ?(1) = 1, esta relación implica que

$Gamma(n+1) = n!,$

para todo número natural n.

También de la misma relación se sigue que

$lim_{zto 0^+}Gamma(z)=lim_{zto 0^+}frac{Gamma(z+1)}{z}=infty$ .

A través de la relación

$Gamma(1-z)Gamma(z)=frac{pi}{sinpi z}$ ,

válida para todo $znotinmathbb{Z}$ , se puede hacer una extensión analítica de $?(z)$ a todo el plano complejo. Una conscuencia de esta relación, es el valor más conocido, para un número no entero, de la función gamma que es:

$Gammaleft(frac{1}{2}right)=sqrt{pi}$

La siguiente forma de definir la función gamma es válida para todos los número complejos excepto para los enteros no positivos:

$Gamma(z) = frac{e^{-gamma z}}{z} prod_{n=1}^infty left(1 + frac{z}{n}right)^{-1} e^{z/n}$

donde ? es la constante de Euler-Mascheroni .

Una forma alternativa de definir la función gamma es:

$Gamma(z) = lim_{n rightarrow infty } n! n^zprod^{n}_{k=0}frac{1}{z+k}$

El desarrollo en Serie de Laurent de $?(z)$ para valores 0 < z < 1 es:

$Gamma(z) approx frac{1}{z} -gamma + left[frac{gamma^2}{2!}+ frac{zeta(2)}{2} right]x+ left[frac{gamma^3}{3!}+ frac{zeta(2)}{2}gamma+ frac{zeta(3)}{3} right]x^2+ dots$

Donde $?(n)$ es la función zeta de Riemann.

[editar] Aplicaciones de la función gamma

[editar] Cálculo fraccionario

La n-ésima derivada de $a x b$ (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

$frac{d^{n}}{dx^{n}}left(ax^{b}right)=left(b-n+1right)cdotsleft(b-2right)left(b-1right)bax^{b-n}=frac{b!}{left(b-nright)!}ax^{b-n}$

como $n! = ?(n + 1)$ entonces $frac{d^{n}}{dx^{n}}left(ax^{b}right)=frac{Gammaleft(b+1right)}{Gammaleft(b-n+1right)}ax^{b-n}$ donde n puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de $x$ , de $x 2$ e inclusive de una constante $c = c x 0$ :

$frac{d^{frac{1}{2}}}{dx^{frac{1}{2}}}left(xright)=frac{2sqrt{x}}{sqrt{pi}}$

$frac{d^{frac{1}{2}}}{dx^{frac{1}{2}}}left(x^{2}right)=frac{8sqrt{x^{3}}}{3sqrt{pi}}$

$frac{d^{frac{1}{2}}}{dx^{frac{1}{2}}}left(cright)=frac{c}{sqrt{pi}sqrt{x}}$

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Ejemplos de problemas que involucran a la Función Gamma en Exampleproblems.com (en inglés)
Calculadora de la función Gamma (en inglés)