Función inversa

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Función recíproca

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Una función ? y su inversa o recíproca ? ?1. Como ? aplica a en 3, la inversa ? ?1 lleva 3 de vuelta en a.

Una función ? y su inversa o recíproca ? ?1. Como ? aplica a en 3, la inversa ? ?1 lleva 3 de vuelta en a.

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Tabla de contenidos

[editar] Definiciones formales

Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

f(x) = yLeftrightarrow{}f^{-1}(y) = xtext{.},!

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

  • f^{-1} circ f = id_i y
  • f circ f^{-1}=id_j.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

[editar] Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1. g circ f = id_I y
  2. f circ g=id_J,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
  • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

[editar] Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

Inversión del orden en la composición de funciones.

  • La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
(g circ f)^{-1} = f^{-1} circ g^{-1}
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g?1 y terminar con f?1,
  • La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
left(f^{-1}right)^{-1} = f
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: f^{-1} circ f = Id_{X} y f circ f^{-1} = Id_{Y}.

[editar] Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

[editar] Continuidad

  • f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
  • Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

[editar] Grafo de la función inversa

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]

  • Los grafos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta ?: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M’ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
  • Las tangentes en M y M’ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f ‘(x) = 1.

[editar] Derivabilidad

  • f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  • Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

[editar] Ejemplos

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función “cuadrada” con dominio los reales no negativos, x rightarrow x^2. Más generalmente, la raíz de orden n es la recíproca de x rightarrow x^n. También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.

Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para f(x) = cos(x) = y, g(y) = f ? 1(y) = arccos(y), y utilizando cos2(x) + sin2(x) = 1 se obtiene: g'(y) = frac{1}{f'(x)} = frac{1}{-sin(x)} = frac{1}{-sqrt{1-cos^2(x)}} = frac{-1}{sqrt{1-y^2}}

Para f(x) = tan(x) = y, g(y) = f ? 1(y) = arctan(y), y utilizando tan'(x) = 1 + tan2(x) se obtiene: g'(y) = frac{1}{f'(x)} = frac{1}{1 + tan^2(x)} = frac{1}{1+y^2}

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.

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