Integración
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En matemáticas, la integración es la forma de resolver, desde el cálculo integral, dos problemas clásicos del Análisis Matemático, estrechamente relacionados:
- El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas conocidas.
- La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la “operación inversa” a la derivación.
Los estudios de Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Se denomina integración definida a la obtención del área bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencial, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.
Tabla de contenidos |
[editar] Integral indefinida
Dada una función F(x) tal que su derivada es F'(x) = f(x), entonces decimos que F es la primitiva de f, definiendo así la integración como la inversa de la derivación. Simbólicamente, se denota por
Una función dada no tiene una única integral indefinida. Por ejemplo, para la función f(x) = x + 2, las siguientes funciones son todas primitivas de la misma:
En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función de la forma F(x)+ C, siendo C una constante , es también una primitiva de f(x). A la expresión: F(x)+ C se le conoce como la integral indefinida de f(x). Esto da origen al Teorema fundamental del Calculo Integral, cuyo enunciado es: “Todas las funciones que tienen igual derivada difieren entre si en una constante.”
Existen varios tipos de integración indefinida
[editar] Integral definida
Dada una función continua positiva en un intervalo [a,b]
se define la integral definida entre los valores a y b del dominio de la función f como el área S limitada por las rectas x=a, x=b, del eje de abscisas y la curva definida por la gráfica de f. Se denota por:
Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es igual a 30.
Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f:
entonces, y según la Regla de Barrow:
Siempre y cuando ni la integral ni la función integrada presenten singularidades en el intervalo de integración.
A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la función se le denomina Teorema fundamental del cálculo integral.
El desarrollo de la Teoría de la medida en la Matemática ha producido históricamente diversas definiciones del concepto de integral.
- La Integración o Sumas de Riemann, la más conocida.
- La integración de Lebesgue, más general pero considerablemente más abstracta, por lo que fuera de los usos propiamente académicos es frecuente limitar el estudio del cálculo integral a los relacionados con la integral de Riemann, más intuitiva y suficiente para la mayoría de las aplicaciones prácticas.
[editar] Véase también
- Cálculo integral
- Integración numérica
- Derivada
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