Longitud de arco

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Para otros usos de este término véase Longitud.

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Tabla de contenidos

1 Métodos modernos
2 Métodos Históricos
- 2.1 Antigüedad
- 2.2 s. XVII
3 Véase también

[editar] Métodos modernos

Al considerar una función $f left ( x right )$ y su respectiva derivada $f' left ( x right )$ que son continuas en un intervalo [a, b]. La longitud s del arco delimitado por a y b es dado por la fórmula:

$s = int_{a}^{b} sqrt{1 + left [ f' left ( x right ) right ] ^2} , dx$

Si la función esta definida parametricamente donde $x = f left ( t right )$ e $y = g left ( t right )$ :

$s = int_{a}^{b} sqrt{left [ f' left ( t right ) right ] ^2 + left [ g' left ( t right ) right ] ^2} , dt$

Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados $r = f (?)$ , la longitud de una curva se reduce a:

$s = int_{a}^{b} sqrt{r^2 + left [ frac {dr}{d theta } right ] ^2} , d theta$