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Parábola (matemática)

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Para otros usos de este término véase parábola.

La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana cuya relación a un sistema de coordenadas ortonormales es:

$y = a x^2 + bx + c ,$

$x = a y^2 + by + c ,$

Se trata del lugar geométrico del conjunto de puntos en un plano tales que equidistan de uno fijo, llamado foco (F), a una recta cualquiera, llamada directriz (D).

[editar] Ecuaciones

[editar] Ecuación canónica

La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas.

Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje X, la ecuación de la parábola es:

$y^2 = 4px ,$

Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje Y, la ecuación de la parábola es:

$x^2 = 4py ,$

Siendo p la distancia del vertice V al foco F. La distancia denominada parámetro de la directriz es 2p y su valor coincide con el de la ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje.

[editar] Ecuacion Ordinaria

Cuando una parabola con eje paralelo al eje x tiene su vértice en (h,k) ( entiendase, cualquier punto del plano), la ecuacion se convierte en:

$(y-k)^2 = 4p(x-h) ,$

Cuando una parabola con eje paralelo al eje y tiene su vértice en (h,k), la ecuacion se convierte en:

$(x-h)^2 = 4p(y-k) ,$

El parámetro p puede ser negativo, por lo que la parabola vertical abrirá hacia abajo o hacia la izquierda en caso de ser horizontal.

[editar] Ecuación general

Parábola con vértice en h, k y eje paralelo al eje x:

$(y - k)^2 = 4p(x - h) ,$

$y^2 - 2ky + k^2 = 4px - 4ph ,$

Parábola con vértice en h, k y eje paralelo al eje y:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) ,$

en donde

$D = -4p ,$

$E = -2k ,$

$F = k^2 + 4ph ,$

$x^2 + Dx + Ey + F = 0 ,$

Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está ubicado el foco (eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda) o donde se ubica la sección del foco dividido entre la directriz de la misma anteponiendo la ecuación de la forma general

[editar] Tangente de la parábola

Sea hallar la tangente a la parábola

$y^2 = 2px ,$

en uno de sus puntos de coordenadas (x1, y1). Derivando respecto a x los dos miembros de la fórmula resulta:

$2 y y ‘ = 2 p$

Despejando y´:

$y ‘ = p / y; y ‘ 1 = p / y 1$

La ecuación de la tangente será:

$y ? y 1 = p / y 1 (x ? x 1)$

y quitando denominadores:

$y_1 y - y_1^2 = px - px_1$

Haciendo la trasposición de términos:

$y_1 y = px + y_1^2 - px_1 = px + 2px_1 - px1$

Por tanto, la ecuación de la tangente es:

$y_1 y = px + px_1 ,$

Es importante mencionar que una conclusión como la anterior la podemos obtener utilizando únicamente geometría analítica. Ya que si consideramos la ecuación $y = a x 2$ entonces un punto de ella es $(x 1, a x 12)$ por lo que la recta $y ? a x 12 = m (x ? x 1)$ es la ecuación de una recta secante a la parábola, si buscamos las condiciones adecuadas substituyendo la segunda ecuación en la primera, y buscamos que la recta secante se intercepte una sola vez con la parábola encontraremos que el valor de la pendiente corresponde al de la derivada.

Se comprueba que desde el punto de vista meramente formal, para hallar la ecuación de la tangente basta escribir la ecuación de la parábola en la forma y·y = px + px, y reemplazar en ella una y por y1 y una x por x1

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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