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Pentagrama (geometría)

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Este artículo trata sobre geometría. Para otros usos de este término véase Pentagrama.

Un pentagrama, pentáculo, pentalfa o pentángulo

Un pentagrama, también llamado pentáculo, pentalfa y pentángulo, es una estrella de cinco puntas dibujada con cinco trazos rectos. La palabra pentagrama proviene del griego ???????????? (pentagrammon), forma sustantiva de ???????????? (pentagrammos) o ???????????? (pentegrammos), palabra que significa “cinco líneas” o “de cinco líneas”.

El nombre indica que el pentagrama no es simplemente una estrella de cinco puntas: el símbolo debe estar compuesto de cinco líneas, es decir, incluir el pentágono interior.

La palabra pentáculo a veces es usada para nombrar al pentagrama, pero son distintos, y con etimologías probablemente distintas.

Tabla de contenidos

1 Geometría
- 1.1 Algunos valores trigonométricos significativos
2 Otros Usos
3 Enlaces externos

[editar] Geometría

Un pentagrama ilustrando la sección áurea contenida en él.

Un pentagrama regular es un polígono en estrella {5/2}. Se dibuja sencillamente partiendo de un pentágono regular, uniendo las esquinas alternadas con líneas y borrando el pentágono original. También pueden extenderse los lados del pentágono hasta su intersección, obteniendo un pentagrama más grande.

La proporción áurea, ? = (1+?5)/2 = 1.618?, que satisface

$phi=1+2sin(pi/10)=1+2sin 18^circ$

$phi=1/(2sin(pi/10))=1/(2sin 18^circ)$

$phi=2cos(pi/5)=2cos 36^circ,$

tiene un papel importante en los pentágonos y pentagramas regulares. Cada línea está dividida en segmentos más pequeños, y si se divide la longitud del segmento más largo por el segmento más corto de cualquier par de sementos, se obtiene ?.

$varphi = frac{mathrm{rojo}}{mathrm{azul}} = frac{mathrm{azul}}{mathrm{verde}} = frac{mathrm{verde}}{mathrm{purpura}}$

También, el lado del pentágono mayor es una línea azul, mientas que la diagonal del pentagrama menor es de la misma longitud que el segmento de línea verde.

Como el pentágono regular, y un pentágono regular con un pentagrama dentro, etc., el pentagrama regular tiene como grupo de simetría el grupo diédrico de órden 10.

[editar] Algunos valores trigonométricos significativos

$sin frac{pi}{10} = sin 18^circ = frac{sqrt 5 - 1}{4}=(phi-1)/2=1/(2phi)$

$cos frac{pi}{10} = cos 18^circ = frac{sqrt{2(5 + sqrt 5)}}{4}$

$tan frac{pi}{10} = tan 18^circ = frac{sqrt{5(5 - 2 sqrt 5)}}{5}$

$cot frac{pi}{10} = cot 18^circ = sqrt{5 + 2 sqrt 5}$

$sin frac{pi}{5} = sin 36^circ = frac{sqrt{2(5 - sqrt 5)} }{4}$

$cos frac{pi}{5} = cos 36^circ = frac{sqrt 5+1}{4} = phi/2$

$tan frac{pi}{5} = tan 36^circ = sqrt{5 - 2sqrt 5}$

$cot frac{pi}{5} = cot 36^circ = frac{ sqrt{5(5 + 2sqrt 5)}}{5}$

Como resultado, en un triángulo isósceles con uno o dos ángulos de 36°, el más largo de los lados es ? veces mayor que el más corto, tanto en los triángulos agudos cuanto en los obtusos.

[editar] Otros Usos

El Pentagrama tiene asociaciones mágicas, y es usado como símbolo en diversas religiones neopaganas, por ejemplo, la religión wicca. Entre los cristianos, se usa el pentagrama para representar las cinco heridas de Jesús. También es usado como símbolo por los masones, o de La Diosa primordial en pueblos paganos; simboliza a la figura humano y sus cinco extremidades, así como la representación de los cinco elementos (Agua, Aire, Fuego, Tierra y Eter).

También en la antigua Grecia era usado por filósofos y pitagóricos como símbolo de la racionalidad y de “perfección matemática” debido a todas las relaciones y proporciones de números enteros y de proporcionalidades áureas que contiene el pentagrama.

En otro aspecto es usado por ciertas bandas de metal, eso sí es usado el pentagrama invertido. Por Slayer (banda de Thrash Metal) es un signo de satanismo, pero por otras bandas como Motley Crue (banda de Glam Rock) fue usado como portada del albúm Shout at the Devil su albúm más agresivo.

[editar] Enlaces externos

Commons alberga contenido multimedia sobre Pentagrama (geometría).Commons
El simbolismo del pentagrama