Polinomio

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En matemáticas un polinomio es una expresión que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.

$x^2 - 4x + 7,$ es un polinomio.

Debe mencionarse en particular que la división por una expresión que contiene una variable no es un polinomio sino una función racional.

Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

[editar] Definición

Para a₀, ?, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como $mathbb{R}$ o $mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero, para n > 0, entonces una polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$f(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$f(x) = sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, ?, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

A cada sumando a_i xⁱ del polinomio se le llama término. Un polinomio con uno, dos o tres términos es llamado monomio, binomio o trinomio, respectivamente.

A las funciones polinómicas de

grado 0 se les llama funciones constantes (excluyendo el polinomio cero, que tiene grado indeterminado),
grado 1 se les llama funciones lineales,
grado 2 se les llama funciones cuadráticas,
grado 3 se les llama funciones cúbicas.

[editar] Factorización

Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliendose así que dividendo = divisor ? cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.

[editar] Historia

La determinación de las raíces de los polinomios “resolver ecuaciones algebraicas”, está entre los problemas más viejos de la matemática. Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz en los números reales. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas cerradas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta 4 grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado de que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de grado 5 o mayores en términos de sus coeficientes (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear grandes tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales automáticamente, evaluando aproximaciones polinomiales en muchos puntos usando el método de las diferencias de Newton.

[[Imagen:Ejemplo.jpgTexto en cursiva]]

[editar] Ejemplos

Polinomio de grado 2: f(x) = x² – x – 2 = (x+1)(x-2)	Polinomio de grado 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 – 7x/5 – 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Polinomio de grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2