Producto escalar

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Producto escalar

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En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

Tabla de contenidos

[editar] Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional, se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo ? que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa:

vec{A} cdot vec{B}=|vec{A}| |vec{B}| cos theta

El producto escalar también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores de tamaño igual a la unidad y que forman ángulos rectos entre sí):

vec{A}cdotvec{B}=(a_1, a_2, a_3)cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

[editar] Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa:

vec{A} cdot vec{B}=vec{B} cdot vec{A}

Asociativa:

m (vec{A} cdot vec{B})= (mvec{A}) cdot vec{B}=vec{A}cdot(mvec{B}) siendo m un escalar.

Distributiva:

vec{A}cdot(vec{B}+vec{C})=vec{A}cdotvec{B}+vec{A}cdotvec{C}

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0), y viceversa.

[editar] Productos interiores definidos en espacios vectoriales

En el espacio vectorial mathbb{R}^n se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

vec{A}cdotvec{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... a_n b_n

En el espacio vectorial mathbb{C}^n se suele definir el producto interior por:

vec{A}cdotvec{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 overline{b_1} + a_2 overline{b_2} + ... a_n overline{b_n}

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

vec{A}cdotvec{B}=tr(B^t A)

donde tr es la traza de la matriz.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b (C[a, b])

vec{f}cdotvec{g} = int_{a}^{b} f(x)g(x)dx

Dado [x1,x2,x3,…,xn,xn + 1] ?  mathbb{R} tal que x1 < x2 < x3 < ... < xn < xn + 1], en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n

vec{p}cdotvec{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1)

De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.

[editar] Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación <cdot,cdot>: V times V longrightarrow K” class=”tex” src=”https://upload.wikimedia.org/math/6/b/0/6b04cb051534af50f3ba943ce1635097.png”> donde <span class=V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

  1. <ax+by,z> = a <x,z> + b <y,z> ,” class=”tex” src=”https://upload.wikimedia.org/math/2/5/9/2598fe06dd6e5ed0c80c74d352b80c85.png”> (lineal en el primer componente),</li> <li><img alt= = overline{}” class=”tex” src=”https://upload.wikimedia.org/math/d/f/1/df16c16bfa2e15335d6a6ac037c7de0c.png”> (hermítica),
  2. <x,x> geq 0 ,” class=”tex” src=”https://upload.wikimedia.org/math/6/d/2/6d2ba729becab325a8a59e127e79397d.png”>, y <img alt= = 0 ,” class=”tex” src=”https://upload.wikimedia.org/math/d/6/2/d6269f27d4e3b621f05110a9da1967e2.png”> si y sólo si x = 0 , (definida positiva),

donde x,y,z , son vectores arbitrarios, a,b , representan escalares cualesquiera y overline{c} es el conjugado del complejo c ,.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., mathbb{R}), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por (cdot|cdot) o por bullet.

Un espacio vectorial sobre el cuerpo mathbb{R} o mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

|x|:= sqrt{<x,x>}” class=”tex” src=”https://upload.wikimedia.org/math/3/6/5/365a65a6af40b8c81d46193748c33bba.png”>.</p> </td> <td align=

[editar] Véase también

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