Sigma-álgebra
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En matemáticas, una ?-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia ? no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las ?-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.
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[editar] Definición Formal
Formalmente, una familia de conjuntos de X (esto es, del conjunto de las partes de X), a la que llamaremos ? es una ?-álgebra sobre X si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:
- El conjunto vacío está en ?.
- Si E está en ?, también está su conjunto complemento XE.
- Si E1, E2, E3, … es una sucesión (contable) en ?, entonces su unión (contable) también está en ?. Entiéndase contable como numerable.
- Nota: a veces la propiedad primera se suele sustituir por que X
, precisamente, por la propiedad segunda.
De las propiedades 1 y 2 se deduce que X ? ?; de 2 y 3 se concluye que la ?-álgebra también es cerrada bajo intersecciones contables (gracias a las leyes de De Morgan).
Los elementos de la ?-álgebra se denominan conjuntos ?-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre ?). Un par ordenado (X, ?), donde X es un conjunto y ? una ?-álgebra sobre éste, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, ?) y (Y, ?) son dos espacios medibles, una función f:X?Y es medible si para todo E ? ?, f?1(E) ? ?. Una medida es una cierta clase de función de una ?-álgebra al intervalo [0,?].
[editar] Notación
Las ?-álgebras usualmente se denotan con letras manuscritas mayúsculas en lugar de ?, con lo que 
se usa en lugar de (X,?). Esto es útil para evitar que ? se confunda con el operador de sumatoria
[editar] Ejemplos
Si X es cualquier conjunto, la familia {?,X} es una ?-álgebra sobre X, llamada ?-álgebra trivial por obvias razones. Otra ?-álgebra sobre X es el conjunto de partes de X. La familia de conjuntos E’incluido en ‘X donde, o bien E, o bien X?E es contable, forma también una ?-álgebra sobre X; si X es incontable, ésta será distinta de la ?-álgebra del conjunto de partes.
Si {??} es una familia de ?-álgebras sobre X, la intersección de todos los conjuntos ?? es también una ?-álgebra sobre X.
Si U es una familia arbitraria de subconjuntos de X, existe una mínima ?-álgebra sobre X que contiene a U, llamada ?-álgebra generada por U. Ésta se denota por ?(U), y se puede construir como sigue:
- Es claro que existe al menos una ?-álgebra sobre X que contiene a U; a saber, el conjunto de partes de X.
- Sea ? la familia (no vacía) de todas las ?-álgebras sobre X que contienen a U (esto es, una ?-álgebra ? sobre X está en ? si y solo si U ? ?).
- Defínase entonces ?(U) como la intersección de todas las ?-álgebras en ?. Por el párrafo anterior, ?(U) es una ?-álgebra sobre X; y por construcción, es la mínima que contiene a U.
Esto lleva a lo que tal vez sea el ejemplo más importante: el álgebra de Borel, o boreliana, sobre un espacio topológico es la ?-álgebra generada por el conjunto de conjuntos abiertos (o equivalentemente, el conjunto de conjuntos cerrados). En general, esta ?-álgebra no es el conjunto de partes, lo cual puede ser demostrado usando el axioma de elección.
En el espacio euclídeo Rn, cabe destacar otra posible ?-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en Rn, y es la que se prefiere en teoría de integración.