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Sistema de referencia inercial

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En mecánica se dice que un sistema de referencia es un sistema de referencia inercial cuando las leyes del movimiento cumplen la conservación del Momento lineal. El término aparece principalmente en mecánica newtoniana donde los sistemas inerciales son precisamente aquellos en los que se cumplen las leyes de Newton.

Fuera de la mecánica newtoniana, como en la Teoría de la Relatividad Especial también se puede definir sistemas inerciales, aunque lo que se entiende por sistema inercial en relatividad especial no coincide con lo que se entiende en mecánica newtoniana, debido a los problemas con la segunda ley de Newton.

Tabla de contenidos

1 Sistemas de referencia inerciales y no-inerciales
- 1.1 Características de los sistemas inerciales
- 1.2 Sistemas de referencia no inerciales
2 Equivalencia sistema inercial y las Leyes de Newton
3 Sistemas inerciales en mecánica relativista
4 Véase también
5 Enlaces externos

[editar] Sistemas de referencia inerciales y no-inerciales

En mecánica clásica y teoría de la relatividad especial un sistema inercial es aquel en el que los símbolos de Christoffel obtenidos a partir de la función lagrangiana se anulan por el mecanismo de Moo.

En un sistema inercial no aparecen fuerzas ficticias para describir el movimiento de las partículas observadas, y toda variación de la trayectoria tiene que tener una fuerza real que la provoca.

[editar] Características de los sistemas inerciales

El punto de referencia es arbitrario, dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro sistema desplazado respecto al primero una distancia fija sigue siendo inercial.

La orientación de los ejes es arbitraria, dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro sistema de referencia con otra orientación distinta del primero, sigue siendo inercial.

Desplazamiento a velocidad lineal constante, dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se desplace con velocidad lineal y constante, sigue siendo inercial.

Por combinación de los tres casos anteriores, tenemos que cualquier sistema de referencia desplazado respecto a uno inercial, girado y que se mueva a velocidad lineal y constante, sigue siendo inercial.

[editar] Sistemas de referencia no inerciales

Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se mueva con aceleración lineal respecto al primero es no inercial.

Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro cuyos ejes roten, con velocidad de rotación constante o variable, respecto a los del primero, no es inercial.

En un sistema en rotación, o moviéndose con aceleración respecto a un sistema inercial da lugar a un sistema no-inercial de referencia, y en él no se cumplen las leyes de Newton. En un sistema no-inercial para justificar el movimiento además de las fuerzas reales necesitamos introducir fuerzas ficticias que dependen del tipo de no-inercialidad del sistema.

[editar] Equivalencia sistema inercial y las Leyes de Newton

En el marco de la mecánica newtoniana puede comprobarse que en un sistema inercial se cumple para un conjunto de partículas que la suma de todos sus momentos lineales permanece constante:

$sum{}vec{p} = Constante$

Definimos el momento lineal de una partícula como el producto de su masa, por su velocidad, respecto a un sistema de referencia dado:

$vec{p} = m vec{v}$

Donde:

p: es el momento lineal.
m: es la masa de la partícula.
v: es la velocidad de la partícula respecto del sistema de referencia.

Para que esto sea cierto el sistema de partículas no tiene que tener influencia externa al sistema, esto es, tiene que ser un sistema aislado.

[editar] 1ª ley de Newton, de inercia

Todo cuerpo conserva el estado de movimiento que posee. Consideremos un sistema inercial formado por una sola partícula. Según la conservación del momento lineal:

$vec{p} = Constantes$
$vec{p} = m vec{v}$

esto es:

$m vec{v} = Constantes$

Dado que la masa es una propiedad de la partícula, no varia en el tiempo; la velocidad como vector tampoco puede variar, de modo que el momento lineal se conserve, el módulo de la velocidad, la dirección y el sentido son constantes. Por tanto, se deduce que la partícula no cambiará su dirección, ni aumentará o disminuirá su velocidad.

[editar] 2ª ley de Newton, principio fundamental de la física

$vec{F} = m vec{a} ,$

Según la definición de momento lineal

$vec{p} = m vec{v}$

Derivando

$frac{dvec{p}}{dt} = frac{d mvec{v}}{dt}$

$frac{dvec{p}}{dt} = mfrac{dvec{v}}{dt}$

$frac{dvec{p}}{dt} = mvec{a}$

Definimos fuerza como la variación del momento lineal respecto del tiempo.

$frac{dvec{p}}{dt} =vec{F}= mvec{a}$

[editar] 3ª ley de Newton, de acción y reacción

A toda fuerza se opone otra de igual magnitud y dirección y sentido contrario.

Tomaremos dos partículas que forman un sistema inercial y calcularemos las fuerzas de interacción entre las dos partículas.

$vec{p}_1 + vec{p}_2 = Constantes$

$m_1vec{v}_1 + m_2vec{v}_2 = Constantes$

Derivando

$frac{d m_1vec{v}_1}{dt} + frac{d m_2vec{v}_2}{dt}= 0$

$m_1frac{d vec{v}_1}{dt} + m_2frac{d vec{v}_2}{dt}= 0$

$m_1vec{a}_1 + m_2vec{a}_2= 0$

$vec{F}_1 + vec{F}_2 = 0$

$vec{F}_1 =- vec{F}_2$

[editar] Conclusión

En un sistema inercial se cumplen las leyes de Newton.
Las leyes de Newton son equivalentes al principio de conservación del momento lineal.

[editar] Sistemas inerciales en mecánica relativista

En Teoría de la Relatividad Especial un sistema se llama inercial a un sistema de coordenadas en el que la métrica del espacio-tiempo puede expresarse como:

$g = - c^2dt otimes dt + dx otimes dx +dy otimes dy +dz otimes dz$

Puede probarse que el conjunto de sistemas inerciales forma una grupo decaparamétrico que incluye las traslaciones y las rotaciones. En todos los sistemas en que la métrica toma la forma anterior las leyes fundamentales de la física una misma simplificada, cuyo límite clásico coincide con las de la mecánica newtoniana. En un sistema de referencia inercial relativista la ecuación del movimiento de una partícula puede expresarse como:

$mfrac{d^2 x^i}{dtau^2} = sum_j F_{real,j}^i$

Donde $tau ,$ es el tiempo propio y $(x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z) ,$ las coordenadas espacio-temporales y las fuerzas que aparecen en el miembro de la izquierda son fuerzas reales y por tanto están causadas por la interacción con el campo creado por otras partículas.

En cambio en un sistema de referencia no-inercial que use las coordenadas generalizadas no incerciales $(bar{x}^0,bar{x}^1,bar{x}^2,bar{x}^3)$ la ecuación del movimiento expresada en términos de los símbolos de Christoffel viene dada por la ecuación más compleja:

$mfrac{d^2bar{x}^i}{dtau^2} + mGamma_{jk}^i frac{dbar{x}^j}{dtau}frac{dbar{x}^k}{dtau} = sum_j bar{F}_{real,j}^i$

En donde se ha usado el convenio de sumación de Einstein sobre índices repetidos. A partir de la ecuación anterior tenemos que la resultante de las fuerzas ficticias en relatividad, que normalmente depende de las velocidades viene dadas por:

$bar{F}_{fict}^i = -mGamma_{jk}^i frac{dbar{x}^j}{dtau}frac{dbar{x}^k}{dtau}$

En Teoría general de la relatividad en principio no es posible encontrar sistemas de referencia inerciales en el sentido anterior, debido a que la curvatura del espacio-tiempo no es idénticamente nula. Sin embargo, siempre es posible anular en al menos un punto las fuerzas ficticias recurriendo a un sistema de coordenadas en el que los símbolos de Christoffel se anulen en el punto.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Curso de Relatividad Especial: Sistemas inerciales