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Elipse

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Elipse animada

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Si F y F’ son dos puntos del plano y $d$ una constante mayor que la distancia FF’, un punto M pertenecerá a la elipse, si:

$F M + F' M = d = 2a ,$

donde $a;$ es el semieje mayor de la elipse.

La elipse es una curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría.

En un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 ,$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF’]. La distancia entre los focos FF’ se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

[editar] Ecuación de una elipse

La ecuación de una elipse centrada en coordenadas cartesianas es simplemente:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1$

En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuación:

$rho(theta) = frac{a(1-e^2)}{1+ecostheta}$

Y finalmente, en ecuaciones paramétricas las expresiones son:

$begin{cases} x = acostheta\ y = bsintheta end{cases}$

con $thetain [0,2pi)$ , y donde el ángulo ? se puede interpretar como el ángulo polar.

[editar] Propiedades

[editar] Tangente a la elipse

La recta tangente a la elipse centrada en (h, k) en el punto M ( $X 1, Y 1$ ) tiene como ecuación: $frac{(X - h)(X_1 - h)}{a^2} + frac{(Y - k)(Y_1 - k)}{b^2} = 1$

[editar] Otras propiedades

La excentricidad de una elipse es ? = c/a. (e < 1)
El área interior a la elipse es ?·a·b
La circunferencia es una elipse en la que a = b.
En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales.
la formula para el lado recto es 2b²/a

[editar] Propiedades notables

Las propiedades de la elipse como herramienta para la anamorfosis

Según se explicó precedentemente, la elipse posee un «eje mayor» trazo AB y un «eje menor» trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

La «elipse» goza de propiedades notables asociadas a cada uno de sus componentes, como se puede visualizar en Analogía de Michelson y Morley.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos $, {F_1}$ y $, {F_2}$ que se llaman «focos».

El punto $, {Q}$ puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

La longitud desde $, {F_1}$ al punto $, {Q}$ sumada a la longitud desde $, {F_2}$ a ese mismo punto $, {Q}$ , es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor» trazo AB.

A las rectas correspondientes a los trazos $, {QF_1}$ y $, {QF_2}$ , se las llama «radios vectores». Los dos «focos» equidistan del centro $, {0}$ .

El área de la elipse es:

$grave{A} rea=pi cdot a cdot b$

El cálculo del perímetro de una elipse por el contrario no tiene una expresión sencilla y requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

[editar] Anamorfosis de un círculo en una elipse

Este es un círculo, en donde el plano cartesiano no se encuentra deformado

Este círculo esta aplastado quedando como elipse, el eje de las Y se ha contraído y el de las X se ha dilatado

La desfiguración de la circunferencia (con su aplastamiento distorsiona el plano cartesiano asociado a aquella), se denomina anamorfosis, que corresponde a una perspectiva muy especial. El término anamorfosis se toma del griego que significa “trasformar”.

En el caso del círculo el plano cartesiano está compuesto por varios cuadraditos, en cambio cuando el círculo se aplasta ? transformándolo en una elipse ? esos cuadrados se deforman quedando más contraído por el eje de las Y, y simultáneamente dilatados por el eje de las X, según se visualiza en la imagen de la izquierda.

Anamorfosis de un cuadrado en un rectángulo

Utilizando las propiedades que tiene el «semieje mayor», y a la vez, la relación de afinidad con la Circunferencia principal, o la Excentricidad, o la Contracción de Lorentz, constataremos que para el ejemplo y los valores dados, con ellos podemos determinar el factor asociado al ángulo $, { cosbeta{_1}} = {K_1} = {0,25}$ , y a la vez, el factor al ángulo $,{ cosbeta{_2}} = {K_2} = {1,75}$ , tendremos:

Si el radio “Y” del círculo es de 80 m y éste se contrajo a 20 m, dado que (80 – 60), y el radio “X” de 80 m se dilató en 140 m, dado que (80 + 60), entonces en la elipse su «semieje mayor» será de 100 m, y su «semieje menor» de 60 m, por cuanto los valores alteradores son 80 y 60, por lo que el $,Semieje mayor = sqrt {80^2 + 60^2} = 100$

El trazo $, {AF_1}$ será de 20 m, y el trazo $, {F_1 {0}}$ , será de 80.

Si dividimos 20/80 = 0,25 igual al factor de contracción del eje de las Y, en donde 80 x 0, 25 = 20 = (80- 60)

Si dividimos 140/80 = 1,75 igual al factor de dilatación del eje de las X, en donde 80 x 1,75 = 140 = (80 + 60)

Dado que $, { 80 + 60} , {=} {140}$

Los valores involucradosn en este ejemplo son:

$, {c } ,= { 80 m/s}$

$, {v } , = { 60 m/s}$

$,{cosbeta{_1}} = {-1}$

$,{cosbeta{_2}} = {+1}$

Para el observador que viaja al interior del carro, no se adicionan la velocidad de la naranja con la velocidad del carro.

$,{(c-v+v)} { = 80 m/s}$

$,{(c+v-v)}{ = 80 m/s}$

Para el Observador que viaja al exterior del carro, se adicionan la velocidad de la naranja con la velocidad del carro.

$,{(c-v)} { = 20 m/s}$

$,{(c+v)}{ = 140 m/s}$

Factor $,{K_1}$ de transformación para que, el observador sin perpectiva, pueda calcular lo que visualizará el observador ubicado en el marco de referencia exterior: